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schur

舒尔分解

语法

T = schur(A)

T = schur(A,mode)

[U,T] = schur(___)

说明

T = schur(A) 返回 A 的舒尔矩阵。

如果 mode 为 "real"，T = schur(A,mode)（其中 A 为实矩阵），返回实数拟三角舒尔矩阵；如果 mode 为 "complex"，则返回复数三角舒尔矩阵。如果 A 为复矩阵，则不管 mode 的值是多少，schur 都返回复数舒尔形式。

[U,T] = schur(___) 还返回酉矩阵 U，并满足 A = U*T*U'。

示例

矩阵的舒尔形式

创建一个 3×3 矩阵，并计算其舒尔形式。结果是一个矩阵，A 的特征值（分别是 1、2 和 3）在对角线上。

A = [-149 -50 -154; 537 180 546; -27 -9 -25];
T = schur(A)

T = 3×3

    1.0000   -7.1119  815.8706
         0    2.0000   55.0236
         0         0    3.0000

非对角线元素的值很大表示此矩阵具有病态特征值，这可以通过使用 condeig 函数求得条件数来确认。

condeig(A)

ans = 3×1

  603.6390
  395.2366
  219.2920

具有复数特征值的矩阵的舒尔形式

创建一个具有复数特征值的 3×3 矩阵。

A = [3 1 1; 0 2 0; -2 1 1]

A = 3×3

     3     1     1
     0     2     0
    -2     1     1

计算 A 的实数舒尔形式。对角线上的 2×2 分块矩阵表示一对共轭复数特征值。

T1 = schur(A)

T1 = 3×3

    2.0000    0.3820    1.3764
   -2.6180    2.0000    0.3249
         0         0    2.0000

用 ordeig 函数求实数舒尔形式的特征值。

ordeig(T1)

ans = 3×1 complex

   2.0000 + 1.0000i
   2.0000 - 1.0000i
   2.0000 + 0.0000i

通过将 mode 指定为 "complex"，计算 A 的复数舒尔形式。T2 的对角线值是 A 的舒尔形式的特征值，它们与 ordeig 的输出相同。

T2 = schur(A,"complex")

T2 = 3×3 complex

   2.0000 + 1.0000i   2.2361 + 0.0000i  -0.3035 - 0.4911i
   0.0000 + 0.0000i   2.0000 - 1.0000i   1.2858 + 0.1159i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i

矩阵的完整舒尔分解

创建一个 3×3 幻方矩阵，并计算其舒尔分解因子。

A = magic(3);
[U,T] = schur(A)

U = 3×3

   -0.5774   -0.8131   -0.0749
   -0.5774    0.4714   -0.6667
   -0.5774    0.3416    0.7416

T = 3×3

   15.0000    0.0000   -0.0000
         0    4.8990   -3.4641
         0         0   -4.8990

验证 A-U*T*U' 和 U'*U - eye(size(U)) 的范数为 0（在计算机精度范围内）。

norm(A-U*T*U')

ans = 6.7711e-15

norm(U'*U - eye(size(U)))

ans = 5.0471e-16

输入参数

A — 输入矩阵

方阵

输入矩阵，指定为实数方阵或复数方阵。A 必须为稠密矩阵。

数据类型: single | double
复数支持: 是

mode — 舒尔形式系统

"real" (默认) | "complex"

舒尔形式系统，指定为 "real" 或 "complex"。

• 如果 A 是实数，则 mode 可以是 "real" 或 "complex"。如果 mode 是 "real"，则 schur 返回实数拟三角 T。如果 mode 是 "complex"，则 schur 返回复数三角 T。

• 如果 A 是复数，则 schur 忽略 mode 并返回复数舒尔形式，它是上三角矩阵，其特征值 A 在对角线上。

输出参量

U — 舒尔向量

酉矩阵

舒尔向量，以满足 A = U*T*U' 的酉矩阵形式返回。U 的每列对应一个舒尔向量。如果舒尔矩阵 T 为三角形，则 U 的第一列是 A 的特征向量，对应于 T 的第一个元素。

T — 舒尔矩阵

方阵

舒尔矩阵，以实数或复数方阵形式返回。如果 mode 是 "complex"，则 T 是三角矩阵。如果 mode 是 "real"，则 T 是拟三角矩阵。

详细信息

拟三角矩阵

上部拟三角矩阵可由实矩阵的舒尔分解或广义舒尔 (QZ) 分解产生。上拟三角矩阵是分块上三角矩阵，沿对角线是由非零值组成的 1×1 和 2×2 分块。

这些对角块的特征值也是矩阵的特征值。1×1 块对应于实数特征值，2×2 块对应于复共轭特征值对。

酉矩阵

如果可逆复数方阵 U 的共轭转置也是其逆矩阵，即 $$U^{*}U=U{U}^{*}=I$$，则该矩阵是酉矩阵。

提示

• 您可以使用 rsf2csf 函数将矩阵的实数舒尔形式转换为复数舒尔形式。[U,T] = rsf2csf(A) 返回与 [U,T] = schur(A,"complex") 相同的输出。

扩展功能

C/C++ 代码生成

使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

• 生成的代码可能返回不同于 MATLAB^® 所返回的舒尔分解。

• 当输入矩阵包含非有限值时，生成的代码不会引发错误，而是在输出中包含 NaN 值。

• 代码生成不支持对此函数使用稀疏矩阵输入。

基于线程的环境

使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

eig | hess | qz | rsf2csf | ordeig | condeig